Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh A(1;0;2), B(3; - 2;1), C( - 1; - 1;4). Xét tính đúng sai của các mệ

15/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;1} \right)\), \(C\left( { - 1; - 1;4} \right).\) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho \(P\) là điểm thỏa mãn biểu thức vectơ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \). Khi đó \(\overrightarrow {DP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {DC} \).

ĐúngSai

Tọa độ của vectơ \(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là \(\left( {4; - 1; - 3} \right)\).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).

ĐúngSai

Cho điểm \(G\) di động trên mặt phẳng \(Oxy\), khi đó biểu thức \(M = \left| {\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\widehat {AGB}\) là góc tù.

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Từ \(\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DP} = 3\left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DP} } \right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DP} = 3\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {DP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \).

b) Sai. Ta tính các vectơ:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1; - 2 - 0;1 - 2} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 1;2} \right)\)

\(\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\left( {2; - 2; - 1} \right) + \left( { - 2; - 1;2} \right) = \left( {4 - 2; - 4 - 1; - 2 + 2} \right) = \left( {2; - 5;0} \right)\).

c) Đúng. Chèn điểm theo quy tắc ba điểm:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).

Mệnh đề này luôn đúng với mọi bốn điểm \(ABCD\).

d) Sai. Tìm điểm tâm tỉ cự \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Tọa độ điểm \(I\):

\({x_I} = \frac{{{x_A} + 2{x_B} + 3{x_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{1 + 2\left( 3 \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

\({y_I} = \frac{{{y_A} + 2{y_B} + 3{y_C}}}{6} = \frac{{0 + 2\left( { - 2} \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = - \frac{7}{6}\)

\({z_I} = \frac{{{z_A} + 2{z_B} + 3{z_C}}}{6} = \frac{{2 + 2\left( 1 \right) + 3\left( 4 \right)}}{6} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\)

Khi đó, \(M = \left| {6\overrightarrow {GI} } \right| = 6GI\). Để \(M\) nhỏ nhất thì \(G\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Vì \(G \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{7}{6};0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};2} \right)\), \(\overrightarrow {GB} = \left( {\frac{7}{3}; - \frac{5}{6};1} \right)\).

Khi đó \(\cos \widehat {AGB} = \cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} }}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {GB} } \right|}} \approx 0,36 > 0\) nên \(\widehat {AGB}\) là góc nhọn.