Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tạo độ các đỉnh lần lượt là A(1; 1; 1), B(5; 1; 1), C(1; 5; 1) và D(1; 1; 7). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Gọi A'(x; y; z) là điểm sa

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 70

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 10a + 25\\{b^2} - 2b + 1 = {b^2} - 10b + 25\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 14c + 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra I(3; 3; 4).

Vì AA' là đường kính của mặt cầu nên I là trung điểm AA'.

Khi đó, ta có hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + x}}{2} = 3\\\frac{{1 + y}}{2} = 3\\\frac{{1 + z}}{2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\\z = 7\end{array} \right.\).

Do đó, A'(5; 5; 7) Þ x = 5, y = 5, z = 7 Þ T = (x + y)z = (5 + 5)7 = 70.