Trong không gian Oxyz cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng (Oxy), đơn vị trên mỗi trục là mét; có hai con chim bói cá ở các vị trí A(90;0;25) và B(80;30;15) trên các cành cây
16/22
Trong không gian \(Oxyz\) cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), đơn vị trên mỗi trục là mét; có hai con chim bói cá ở các vị trí\(A\left( {90\,;\,0\,;\,25} \right)\) và \(B\left( {80\,;\,30\,;\,15} \right)\) trên các cành cây đang cùng ngắm mục tiêu là một chú cá đang bơi trên mặt hồ. Khi cá nằm im ở vị trí \(C\left( {20\,;\,\,10\,;\,\,0} \right)\) thì hai con chim quyết định tấn công mục tiêu của mình. Chim bói cá ở vị trí \(A\) xuất phát trước con còn lại \(1\) giây và bay về phía con cá với vận tốc \(12\)(m/s); chim bói cá còn lại cũng tấn công mục tiêu với vận tốc \(15\)(m/s)
Góc tấn công của chim \(B\)(góc tạo bởi đường bay và mặt nước) lớn hơn \(15^\circ \)
Tại thời điểm chim \(B\) bắt đầu lao xuống, khoảng cách giữa hai chim là \(29\)m (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Tốc độ của chim \(A\) theo phương thẳng đứng (\(Oz\)) bằng \(4\)(m/s)
Giả sử mặt trời chiếu xuống con chim \(B\) thì bóng con chim \(B\) trên mặt nước di chuyển với tốc độ lớn hơn \(14,5\)(m/s)
Xét mệnh đề a)
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 60;\, - 20;\, - 15} \right)\)
Khi đó: \[\sin \alpha = \frac{{\left| { - 15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{13}} \Rightarrow \alpha \approx 13,34^\circ < 15^\circ \] nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 70;\,10;\, - 25} \right)\) nên \[\overrightarrow {{v_A}} = k.\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow k = \frac{{12}}{{75}} = \frac{4}{{25}} \Rightarrow \overrightarrow {{v_A}} = \left( { - \frac{{56}}{5};\,\frac{8}{5};\, - 4} \right)\]
Vị trí của con chim \(A\) tại thời điểm \(t\) là: \(A'\left( {90 - \frac{{56t}}{5};\,\frac{{8t}}{5};\,25 - 4t} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{v_B}} = m.\overrightarrow {BC} \Rightarrow m = \frac{3}{{13}}\) nên \(\overrightarrow {{v_B}} = \left( { - \frac{{180}}{{13}};\, - \frac{{60}}{{13}};\, - \frac{{45}}{{13}}} \right)\)
Do chim \(A\) xuất phát trước 1 giây nên tọa độ của chim bói cá \(B\) là:
\(B\left( {80 - \frac{{180}}{3}\left( {t - 1} \right);\,30 - \frac{{60}}{{13}}\left( {t - 1} \right);\,15 - \frac{{45}}{{13}}\left( {t - 1} \right)} \right)\)
Tại \(t = 1\) thì khoảng cách \(A'B = 29,0516 \approx 29\)m nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có \({v_{{z_A}}} = \left| { - 4} \right| = 4\) (m/s) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Do bóng dưới nước thuộc \(\left( {Oxy} \right)\) nên \[\overrightarrow {{v_{bong}}} = \left( { - \frac{{180}}{{13}};\, - \frac{{60}}{{13}};0} \right) \Rightarrow \left| {{v_{bong}}} \right| = \frac{{60\sqrt {10} }}{{13}} \approx 14,59 > 14,5\](m/s) nên mệnh đề d) đúng