Trong không gian Oxyz cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng (Oxy), đơn vị trên mỗi trục là mét; một chú chim bói cá đang đậu trên một cành cây ở vị trí A(0;0;5) tiến hành bay
21/22
Trong không gian \(Oxyz\)cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), đơn vị trên mỗi trục là mét; một chú chim bói cá đang đậu trên một cành cây ở vị trí \(A\left( {0;0;5} \right)\) tiến hành bay thám thính qua một hồ nước đến đậu trên một cành cây khác tại vị trí \(B\left( {4;0;4} \right)\) theo quỹ đạo là một cung tròn hoàn hảo đi qua điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = 135^\circ \). Biết rằng tồn tại một vị trí trên quỹ đạo bay của chú chim bói cá xuống mặt nước là gần nhất. Khi đó khoảng cách gần nhất này bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Áp dụng định lý Sin, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin 135^\circ }} = 2R \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\) và tính được \(AB = \sqrt {17} \)
Xét tam giác \(INH\) là tam giác vuông tại \(N\), ta có:
Khi đó: \[IH = \sqrt {{R^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {34} }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt {17} }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{2} \Rightarrow \cos \beta = \frac{{IN}}{{IH}} \Rightarrow IN = \cos A.\frac{{\sqrt {17} }}{2}\]
Mặt khác: \({z_H} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{5 + 4}}{2} = 4,5 \Rightarrow IN = 2 \Rightarrow {z_I} = {z_H} + IN = 4,5 + 2 = 6,5\)
Khi đó khoảng cách gần nhất là: \({d_{\min }} = {z_I} - R = 6,5 - \frac{{\sqrt {34} }}{2} \approx 3,58\)(m)