Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 1; 1), B(1; 2; 1) và C(−2; 2; 0). (a) Số đo góc \(\widehat {BAC}\)làm tròn tới hàng phần mười theo đơn vị độ bằng 33,6°. (b) Tọa độ trọng tâm

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;1; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{4 + 1 + 0}}{{\sqrt 2 .\sqrt {18} }} = \frac{5}{6}\)\(\widehat {BAC} \approx 33,6^\circ \).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{2 + 1 - 2}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{z_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

c) Có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{5}{6} \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\), \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 2 ;\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18} \).

Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {18} .\frac{{\sqrt {11} }}{6} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).

d) Theo tính chất đường phân giác ta có \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {18} }} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 3\overrightarrow {DB} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\2 - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\ - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = 2\\c = \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Suy ra \(a + b + c = \frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{4} = 3\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.