Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh lần lượt là A(1; 2; −1), B(2; −1; 3) và C(−3; 5; 1). Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và nhận vectơ chỉ phươ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức trọng tâm tam giác, ta tính được các tọa độ của G trong một hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_G} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3} = 0}\\{{y_G} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = 2}\\{{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3} = 1}\end{array}} \right.\). Vậy tọa độ trọng tâm là G(0; 2; 1).

b) Đúng. Ta tính tọa độ hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;3;2} \right)\). Đường thẳng d nhận tích có hướng của hai vectơ này làm vectơ chỉ phương. Ta có:

\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)2 - 4 \cdot 3;4\left( { - 4} \right) - 1 \cdot 2;1 \cdot 3 - \left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 18; - 18; - 9} \right)\).

c) Đúng. Ta thấy \(\vec u =  - 9\left( {2;2;1} \right)\). Bằng cách chia các tọa độ của \(\vec u\) cho −9, ta thu được vectơ \(\vec v = \left( {2;2;1} \right)\) cùng phương với \(\vec u\). Do đó \(\vec v\) cũng là vectơ chỉ phương của d.

d) Sai. Đường thẳng d đi qua điểm G(0; 2; 1) và nhận \(\vec v = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d được lập dưới dạng hệ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).