Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A (1;0;2), B(- 1; - 1;4), C(1;3;6). Biết điểm H(a;b;c)

Ta có \(H \in BC\) và \(AH \bot BC\).

Vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {1 - \left( { - 1} \right);3 - \left( { - 1} \right);6 - 4} \right) = \left( {2;4;2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( { - 1; - 1;4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {1;2;1} \right)\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 4 + t}\end{array}} \right.\).

Vì \(H \in BC\) nên tọa độ \(H\) có dạng: \(H\left( { - 1 + t; - 1 + 2t;4 + t} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 0;{z_H} - 2} \right) = \left( { - 2 + t; - 1 + 2t;2 + t} \right)\).

Vì \(AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \vec u = 0\):

\(1 \cdot \left( { - 2 + t} \right) + 2 \cdot \left( { - 1 + 2t} \right) + 1 \cdot \left( {2 + t} \right) = 0\)

\( - 2 + t - 2 + 4t + 2 + t = 0 \Rightarrow 6t - 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}\)

Thay \(t = \frac{1}{3}\) vào tọa độ điểm \(H\):

\(a = - 1 + \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}\)

\(b = - 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}\)

\(c = 4 + \frac{1}{3} = \frac{{13}}{3}\)

Tính giá trị biểu thức \(b - c\): \(b - c = - \frac{1}{3} - \frac{{13}}{3} = - \frac{{14}}{3} \approx - 4,7\).

Đáp số: \( - 4,7\).