Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;1) có trọng tâm là G, M là trung điểm

96/235

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \[{\rm{A(2;3;1)}}\] có trọng tâm là G, M là trung điểm của cạnh BC. Biết điểm G thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và điểm M thuộc mặt phẳng \((P):x + 2y - z - 1 = 0.\) Đường thẳng AM có một vectơ chỉ phương là:

\(\vec u{\mkern 1mu} (1;{\mkern 1mu} - 2;{\mkern 1mu} 1)\).

\(\vec u{\mkern 1mu} ( - 2;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} - 2)\).

\(\vec u{\mkern 1mu} ( - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} - 1)\).

\(\vec u{\mkern 1mu} (2;{\mkern 1mu} - 1;{\mkern 1mu} 2)\).

Giải thích

Xét có trung tuyến AM, trọng tâm là G. Khi này \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AM} .\)

+ Do \(G \in d\) nên toạ độ của G là \[{\rm{G'(2t + 2; t - 1; 2t + 1)}}\] \( \Rightarrow \overrightarrow {AG} = (2t;\;t - 4;\;2t)\)

+ Vì \(3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AM} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (3t;\;{\textstyle{3 \over 2}}(t - 3);\;3t + 1)\)

Nên tọa độ điểm M khi này là \(M(3t + 2;\;{\textstyle{3 \over 2}}t - 3;\;3t + 1).\)

Do điểm \(M \in (P)\) , thay \(M(3t + 2;\;{\textstyle{3 \over 2}}t - 3;\;3t + 1)\) vào mặt phẳng \((P):\;x + 2y - z - 1 = 0,\) ta có:

\((3t + 2) + 2\left( {{\textstyle{3 \over 2}}t - 3} \right) - (3t + 1) - 1 = 0\)

\( \Rightarrow 3t - 6 = 0 \Rightarrow t = 2.\)

Đường thẳng AM khi này có vectơ chỉ phương là:

\(\vec u(6;\; - 3;\;6) = \vec u(2;\; - 1;\;2).\)

Đáp án cần chọn là : A