Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; - 1; - 2), B(3;1;2), C(1; - 1;1). Các khẳng định sau đúng hay sai?

15/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 1; - 2} \right)\), \(B\left( {3;1;2} \right)\), \(C\left( {1; - 1;1} \right)\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

\(G\left( {2;\frac{{ - 1}}{3};\frac{1}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

ĐúngSai

\(\widehat {ABC} = 60^\circ \).

ĐúngSai

Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {0;3;3} \right)\).

ĐúngSai

\(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(A,B,M\) thẳng hàng thì tọa độ điểm \(M\) là \(\left( {3;1;0} \right)\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng: Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):

\({x_G} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2;\quad {y_G} = \frac{{ - 1 + 1 - 1}}{3} = - \frac{1}{3};\quad {z_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

b) Sai: Ta tính các vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \):

\(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - 3; - 1 - 1; - 2 - 2} \right) = \left( { - 1; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {1 - 3; - 1 - 1;1 - 2} \right) = \left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).

Khi đó \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 4 + 16} \cdot \sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2 + 4 + 4}}{{\sqrt {21} \cdot 3}} = \frac{{10}}{{3\sqrt {21} }} \ne \frac{1}{2}\).

Do đó \(\widehat {ABC} \ne 60^\circ \).

c) Sai: Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y + 1;z + 2} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 2; - 1} \right)\). Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = - 2}\\{y + 1 = - 2}\\{z + 2 = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3}\\{z = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {0; - 3; - 3} \right)\).

d) Sai: Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AB\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 + 4t}\end{array}} \right.\).

Vì \(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 0 \Leftrightarrow - 2 + 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).

Thay \(t = \frac{1}{2}\) vào phương trình ta được: \({x_M} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5\) và \({y_M} = - 1 + 2 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).

Vậy \(M\left( {2,5;0;0} \right)\), không phải \(\left( {3;1;0} \right)\).