Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(0;0;1), B(-3;2;0), C(2;-2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

13/40

Trong không gian$Oxyz$cho tam giác$ABC$có$A\left( {0;0;1} \right),\,\,B\left( { - 3;2;0} \right),\,\,C\left( {2; - 2;3} \right)$. Đường cao kẻ từ$B$của tam giác$ABC$đi qua điểm nào trong các điểm sau?

$P\left( { - 1;2; - 2} \right)$.

$M\left( { - 1;3; - 1} \right)$.

$N\left( {0;3; - 2} \right)$.

$Q\left( { - 5;3;3} \right)$.

Giải thích

$Ta có $AC' \bot \left( {A'BD} \right)$ và $AC' \cap \left( {A'BD} \right) = G$ với $AG = \frac{1}{3}AC'$. Suy ra \(d\left( {C',\left( {A'BD} \rig (ảnh 1)$

Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2;2} \right) = 2\left( {1; - 1;1} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A\left( {0;0;1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Gọi $H$là chân đường cao hạ từ $B$ xuống $AC$.

Khi đó $H \in AC \Rightarrow H\left( {t; - t;1 + t} \right)$.

Có $\overrightarrow {BH} = \left( {t + 3; - t - 2;1 + t} \right)$.

Có $\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow u = 0$$ \Leftrightarrow t + 3 + t + 2 + 1 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 2$$\overrightarrow {BH} = \left( {1;0; - 1} \right)$

Phương trình đường cao kẻ từ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t'\\y = 2\\z = - t'\end{array} \right.$.

Ta thấy điểm thuộc đường thẳng trên. Chọn A.