Trong không gian Oxyz cho tam giác (ABC) có A {2;3;1} có trọng tâm G

97/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;3;1} \right),\) có trọng tâm \(G,\) \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)

Biết điểm \(G\) thuộc đường thẳng \[d:\;\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\]

và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \[(P):\;x + 2y - z - 1 = 0.\] Đường thẳng \(AM\) có một vectơ chỉ phương là:

\(\vec u(1; - 2;1).\)

\(\vec u( - 2;1; - 2).\)

\(\vec u( - 1;2; - 1).\)

\(\vec u(2; - 1;2).\)

Giải thích

Giải chi tiết:
Trong tam giác \(ABC,\) trọng tâm \(G\) chia trung tuyến \(AM\) theo tỉ lệ
\[AG = \frac{2}{3}AM \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AM} .\]

Vì \(G \in d\) nên

\[G(2 + 2t;\;t - 1;\;1 + 2t).\]

Suy ra

\[\overrightarrow {AG} = (2t;\;t - 4;\;2t).\]

Do \(3\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AM} \) nên

\[\overrightarrow {AM} = \left( {3t;\;\frac{3}{2}t - 6;\;3t} \right).\]

Suy ra

\[M(3t + 2;\;\frac{3}{2}t - 3;\;3t + 1).\]

Vì \(M \in (P)\) nên thay vào phương trình mặt phẳng:

\[(3t + 2) + 2\left( {\frac{3}{2}t - 3} \right) - (3t + 1) - 1 = 0.\]

\[ \Leftrightarrow 3t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\]

Khi đó

\[\overrightarrow {AM} = (6; - 3;6)\~(2; - 1;2).\]

Đáp án cần chọn là: D.