Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 11 = 0 và mặt cầu S có tâm I(1, - 2,1) tiếp xúc với

Giải chi tiết:

Do \((S)\) tiếp xúc với \((P)\) tại \(H\) nên \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \((P)\).

Đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \((P)\) có dạng:

  \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\]

Vì \(H \in (P)\) nên:

  \[2(1 + 2t) + 3(3t - 2) + (1 + t) - 11 = 0 \Rightarrow t = 1\]

  \[ \Rightarrow H(3,1,2)\]

  \[T = 3 + 1 + 2 = 6\]
Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tại điểm \(P\) có tâm nằm trên đường thẳng qua \(P\) và vuông góc với mặt phẳng.

·         Xác định tâm bằng cách lấy hình chiếu lên trục cho trước, sau đó tính bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến điểm tiếp xúc.