Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) vuông góc với Δ : x/1 = y /− 2 = z/ 3 và ( α ) cắt trục Ox , trục Oy và tia Oz lần lượt tại M , N , P . Biết rằng thể tích khối tứ diệ

36/48

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng ( \(\alpha \) ) vuông góc với \({\rm{\Delta }}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M,N,P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng 6. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

\(C\left( {1; - 1;2} \right)\).

\(B\left( {1; - 1;1} \right)\).

\(A\left( {1; - 1; - 3} \right)\).

\(D\left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Giải thích

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Do \(\left( \alpha \right) \bot {\rm{\Delta }}\) nên \({\vec n_\alpha } = {\vec u_{\rm{\Delta }}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(x - 2y + 3z - 6D = 0\).

Theo bài ra, ta có: \(M\left( {6D;0;0} \right),N\left( {0; - 3D;0} \right),N\left( {0;0;2D} \right)\) với \(D > 0\).

Thể tích của khối tứ diện \(OMNP\) là

\[V = \frac{1}{6} \cdot OM \cdot ON \cdot OP = \frac{1}{6} \cdot \left| {6D} \right| \cdot \left| { - 3D} \right|.2D = 6{D^3}\].

Do \(V = 6\) nên \(6{D^3} = 6 \Leftrightarrow D = 1\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z - 6 = 0\).

Dễ thấy \(B\left( {1; - 1;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Chọn B.