Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): z=0 và hai điểm A(2;-1;0)

Chọn D

Vì MA=MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của đoạn thẳng AB.
Ta có (Q) đi qua trung điểm I(3;1;−1) của AB và có véctơ pháp tuyến là AB→=(2;4;−2) nên (Q) có phương trình là
2(x−3)+4(y−1)−2(z+1)=0⇔x+2y−z−6=0.
Vì M∈(P) và M∈(Q) nên M thuộc giao tuyến ∆của (P) và (Q).
(P) có véctơ pháp tuyến n→P=(0;0;1), (Q) có véctơ pháp tuyến n→Q=(1;2;−1). Khi đó ∆ có véctơ chỉ phương u→=[n→P,n→Q]=(−2;1;0).
Chọn N(2;2;0) là một điểm chung của (P) và (Q). Δ đi qua N nên có phương trình x=2−2ty=2+tz=0(t∈ℝ).
Vì M∈Δnên M=(2−2t;2+t;0). Theo định lý cosin trong tam giác MAB, ta có
cosAMB^=MA2+MB2−AB22MA⋅MB=2MA2−AB22MA2=1−AB22MA2.
Vì AB không đổi nên từ biểu thức trên ta có AMB^ lớn nhất ⇔cosAMB^ nhỏ nhất nhỏ nhất ⇔MA2.
Ta có MA2=2t2+t+32=5t2+6t+9=5t+352+365≥365
Đẳng thức xảy ra ⇔t=−35, khi đó M165;75;0.
Vậy a+b=235.