Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+y+z-3=0

42/50

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng P:x+y+z−3=0 và đường thẳng d:x1=y+12=z−2−1.Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là

x+1−1=y+1−4=z+15.

x−13=y−1−2=z−1−1.

x−11=y−14=z−1−5.

x−11=y−41=z+51.

Giải thích

Phương trình của tham số của đường thẳng d là:x=ty=−1+2tz=2−t.

Gọi A là giao điểm của (P) và d. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: x=ty=−1+2tz=2−tx+y+z−3=0 Suy ra A1;1;1. Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là ud→=1;2;−1, mặt phẳng có vec-tơ pháp tuyến là nP→=1;1;1. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P). Khi đó (Q) có vec-tơ pháp tuyến nQ→=ud→,nP→=3;−2;−1. Đường thẳng Δ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra vec-tơ chỉ phương củaΔ là u→=n(P)→,n(Q)→=1;4;−5.

Vậy hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là x−11=y−14=z−1−5.

Chọn đáp án C