Trong không gian oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y+2z+4=0 và mặt cầu

27/150

Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right):{\rm{x}} + 2{\rm{y}} + 2{\rm{z}} + 4 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0\). Tọa độ của điểm \(M\) trên \(\left( S \right)\) sao cho \(d\left( {{\rm{M}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất là

\(\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,3} \right)\).

\(\left( {\frac{5}{3}\,;\,\,\frac{7}{3}\,;\,\,\frac{7}{3}} \right)\).

\(\left( {\frac{1}{3}\,;\,\, - \frac{1}{3}\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right)\).

\(\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\).

Giải thích

Mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\) có tâm \[{\rm{I}}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Ta có: \({\rm{d}}\left( {{\rm{I}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = 3 > {\rm{R}} = 2 \Rightarrow \left( {\rm{P}} \right) \cap \left( {\rm{S}} \right) = \emptyset .\)

Đường thẳng \({\rm{d}}\) đi qua \[I\] và vuông góc với \(\left( {\rm{P}} \right)\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t,\,\,t \in \mathbb{R}{\rm{. }}}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm của \({\rm{d}}\) và \(\left( {\rm{S}} \right)\) là \({\rm{A}}\left( {\frac{5}{3}\,;\,\,\frac{7}{3}\,;\,\,\frac{7}{3}} \right),{\rm{B}}\left( {\frac{1}{3}\,;\,\, - \frac{1}{3}\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right)\).

Ta có \({\rm{d}}\left( {{\rm{A}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = 5 \ge {\rm{d}}\left( {{\rm{B}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = 1 \Rightarrow {\rm{d}}\left( {{\rm{A}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) \ge {\rm{d}}\left( {{\rm{M}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) \ge {\rm{d}}\left( {{\rm{B}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d{\left( {{\rm{M}},\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right)_{\min }} = 1 \Leftrightarrow M \equiv B\). Chọn C.