Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng d:(x – 1)/1 = (y – 1)/1 = (z – 1)/2. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nh

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                    c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;2} \right)\).

b) Sai. Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vì hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow u \) không cùng phương nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng d.

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

(Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất thì \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0 \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 90^\circ \).

d) Đúng. Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.