Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y + z − 2 = 0 và hai điểm A(1;2;−1), B(2;3;0). Những phương án nào dưới đây đúng

1. Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \).

2. Đúng. Thay tọa độ điểm \(A,B\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\left| \begin{array}{l}1 - 2 - 1 - 2 =  - 4\\2 - 3 + 0 - 2 =  - 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(A,B\)nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

3. Sai. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\)trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(BH \bot \left( P \right)\).

Suy ra đường thẳng \(BH\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(BH\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\)là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\\x - y + z - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\\2 + t - 3 + t + t - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {3;2;1} \right)\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 2.

4. Đúng. Gọi \(B'\)là điểm đối xứng với \(B\)qua mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó \(H\)là trung điểm đoạn thẳng \(BB'\). Suy ra tọa độ \(B'\left( {4;1;2} \right)\).

Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Suy ra \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất khi ba điểm \(M,A,B'\) thẳng hàng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {3; - 1;3} \right) \Rightarrow AB' = \sqrt {19} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) bằng \(\sqrt {19} \). Chọn 2, 4.