Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y + 2 = 0 và điểm M(1; 3; 2). Gọi d là đường thẳng đi qua M, đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Phương trình đặc trưng của mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Do đó, nó nhận vectơ đơn vị nằm trên trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\vec k} \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).

Vectơ \(\vec v\) này cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Đúng. Vì đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1; - 1;0} \right)\) với cao độ luôn bằng 0, nên mọi điểm trên d đều có cao độ z = 2 không thay đổi.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\).