Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và các điểm A ( 2 ; 1 ; 2 ) , B ( 3 ; − 2 ; 2 ) . Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng ( P ) thỏa mãn đường thẳng

31/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),B\left( {3; - 2;2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn đường thẳng \(MA\) và \(MB\) tạo với \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết \(M\) luôn nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) cố định. Tọa độ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(\left( {\frac{{221}}{{105}};\frac{{86}}{{105}};\frac{{34}}{{15}}} \right)\).

\(\left( {\frac{{10}}{3}; - 3;\frac{{14}}{3}} \right)\).

\(\left( {\frac{{17}}{{21}}; - \frac{{17}}{{21}};\frac{{17}}{{21}}} \right)\).

\(\left( {\frac{{32}}{9}; - \frac{{49}}{9};\frac{2}{9}} \right)\).

Giải thích

Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\); \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 2 - 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên \(\left( P \right)\). Ta có \(\widehat {AMH} = \widehat {BMK}\).

Do đó tam giác \(AMH\) đồng dạng với tam giác \(BMK\) nên

\(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{1}{6} \Rightarrow MB = 6MA\) (1).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Từ (1) suy ra:

\(6\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}} \)

\[ \Leftrightarrow 36\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}} \right] = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2}\]

\( \Leftrightarrow 35{x^2} + 35{y^2} + 35{z^2} - 138x - 76y - 140z + 307 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{138}}{{35}}x - \frac{{76}}{{35}}y - 4z + \frac{{307}}{{35}} = 0\).

Do đó, \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{138}}{{35}}x - \frac{{76}}{{35}}y - 4z + \frac{{307}}{{35}} = 0\) có tâm \(I\left( {\frac{{69}}{{35}};\frac{{38}}{{35}};2} \right)\).

Mà \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(M\) nằm trên đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) cố định của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(H\) là tâm của đường tròn (\(C\)).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{{35}} + t\\y = \frac{{38}}{{35}} - 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{{35}} + t\\y = \frac{{38}}{{35}} - 2t\\z = 2 + 2t\\x - 2y + 2z - 5 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{{35}} + t\\y = \frac{{38}}{{35}} - 2t\\z = 2 + 2t\\\frac{{69}}{{35}} + t - 2\left( {\frac{{38}}{{35}} - 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{69}}{{35}} + t\\y = \frac{{38}}{{35}} - 2t\\z = 2 + 2t\\t = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\]\( \Rightarrow H\left( {\frac{{221}}{{105}};\frac{{86}}{{105}};\frac{{34}}{{15}}} \right)\).

Vậy tọa độ tâm của đường tròn (C) là \(\left( {\frac{{221}}{{105}};\frac{{86}}{{105}};\frac{{34}}{{15}}} \right)\). Chọn A.