Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) :x - 2y + 2z - 5 = 0

40/86

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),B\left( {3; - 2;2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn đường thẳng \(MA\) và \(MB\) tạo với \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết \(M\) luôn nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) cố định. Tọa độ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(\left( {\frac{{74}}{{27}}; - \frac{{97}}{{27}};\frac{{62}}{{27}}} \right)\).

\(\left( {\frac{{10}}{3}; - 3;\frac{{14}}{3}} \right)\).

\(\left( {\frac{{17}}{{21}}; - \frac{{17}}{{21}};\frac{{17}}{{21}}} \right)\).

\(\left( {\frac{{32}}{9}; - \frac{{49}}{9};\frac{2}{9}} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đường thẳng đi qua điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;b;c} \right)\) (\(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\)) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên \(\left( P \right)\). Ta có \(\widehat {AMH} = \widehat {BMK}\).

Do đó tam giác \(AMH\) đồng dạng với tam giác \(BMK\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{{d_{\left[ {A,\left( P \right)} \right]}}}}{{{d_{\left[ {B,\left( P \right)} \right]}}}} = 2 \Rightarrow MA = 2MB\) (1).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Từ (1) suy ra:

\(\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 2)}^2}} = 2\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 2)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\left[ {{{(x - 3)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 2)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{20}}{3}x + 6y - 4z + \frac{{59}}{3} = 0\)

Do đó, \(M\left( {x;y;z} \right)\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{20}}{3}x + 6y - 4z + \frac{{59}}{3} = 0\) có tâm \(I\left( {\frac{{10}}{3}; - 3;2} \right)\).

Mà \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(M\) nằm trên đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) cố định của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của I trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(H\) là tâm của đường tròn (\(C\)).

Ta tìm được \(H\left( {\frac{{74}}{{27}}; - \frac{{97}}{{27}};\frac{{62}}{{27}}} \right)\). Vậy tọa độ tâm của đường tròn (C) là \(\left( {\frac{{74}}{{27}}; - \frac{{97}}{{27}};\frac{{62}}{{27}}} \right)\).