Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c là các số thực dương.

88/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt trục \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] lần lượt tại ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)\) trong đó \(b,\,\,c\) là các số thực dương. Biết rằng mp \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q):y - z + 1 = 0\) và \(d(O,(P)) = \frac{1}{3}\). Khi đó tích \(4bc\) bằng

\(1.\)

\(\frac{1}{2}.\)

\(2.\)

\(\frac{1}{4}.\)

Giải thích

Giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có \(1\) VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right).\)

Mặt phẳng \((Q):y - z + 1 = 0\) có \(1\) VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = (0;1; - 1).\)

Vì \((P) \bot (Q) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Rightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow b = c.\)

Ta có: \(d(O,(P)) = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{| - 1|}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 9\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\) (do \(b > 0\))

\( \Rightarrow c = \frac{1}{2}\)

Vậy \(4bc = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1.\)

Đáp án đúng là A