Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt các tia

38/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt các tia \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] lần lượt tại ba điểm \(A\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\)\(B\left( {0\,;\,\,b\,;\,\,0} \right),\)\(C\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,c} \right).\) Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):y - z + 1 = 0\) và khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{1}{3}.\) Khi đó tích \[4bc\] bằng:

\(\frac{1}{2}.\)

\(\frac{1}{4}.\)

Giải thích

Ta có \(\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).

Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(1 \cdot 0 + \frac{1}{b} \cdot 1 + \frac{1}{c} \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow b = c\).

Lại có \[d\left( {O\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{{b^2}}} = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{1}{2} = c}\\{b = - \frac{1}{2} = c}\end{array}} \right.\].

Suy ra \(4bc = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1\). Chọn A.