Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 )

43/46

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và hai điểm A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 ). Tìm tập hợp tất cả các điểm C∈Psao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất

x=-ty=-89z=-89+t

x=ty=-89z=-89+t

x=-2ty=-89z=-89+t

x=2ty=-89z=-89+t

Giải thích

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y = 2x - 2z - 12 nên tọa độ điểm Ca;2a-2b;b

Ta có AB⇀=1;0;1,AC→=a-1;2a-2b-13;v-3

Suy ra AB⇀,AC⇀=2a-2b-13;b-a-2;13-2a+2b

Do đó

SABC=12AB⇀,AC⇀=122a-2b-132+b-a-22+13-2a+2b2

Đặt t = a - b thì

4S∆ABC2=2t-132+t+22+13-2t2=9t2-100t+342=30t-5032+5789≥5789

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t=509

Do đó minSABC=1726 khi t=509. Vì thế b=a-509

Suy ra Ca;-89;a-509

Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình x=ty=-89z=-89+t

Đáp án B