Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm I(a; b; c), vuông góc với (P) và biết d cũng đi qua hai điểm M(1; −1; 2) và N(3; −2; 4). Gọi I là giao

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là \(\left( {3 - 1; - 2 - \left( { - 1} \right);4 - 2} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)\).

b) Đúng. Từ phương trình (P), vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\). Ta thấy \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {{n_P}} \), nên \(\overrightarrow {MN} \) đóng vai trò là một vectơ pháp tuyến. Điều này cũng xác nhận đường thẳng đi qua M, N vuông góc với (P).

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d (đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} \)) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

d) Sai.

Thế \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giao điểm I:

2(1 + 2t) − (−1 − t) + 2(2 + 2t) − 1 = 0 <=> 2 + 4t + 1 + t + 4 + 4t − 1 = 0

<=> 9t + 6 = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).

Thay t = \( - \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của d để tìm tọa độ I(a; b; c):

a = 1 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); b = −1 − \(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); c = 2 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \(\frac{2}{3}\)

Tính tổng: a + b + c = \( - \frac{1}{3}\) − \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0.