Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0. Biết mặt phẳng (α): x + my = 0 tạo với mặt phẳng (P) một góc 45. Có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn yêu cầu?
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (α).
Ta có \(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{3\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 18\left( {1 + {m^2}} \right) = 4{\left( {2 - m} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 14{m^2} + 16m + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - \frac{1}{7}\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của m.