Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng (P) :2x - y + 2z - 1 = 0

6/22

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):4x - 4y + 3z - 2 = 0$. Đường thẳng $\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$, có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {m\,;n\,;1} \right)$. Khi $\Delta $ tạo với $\left( Q \right)$ một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng bao nhiêu?

$\frac{{2\sqrt {41} }}{{41}}$.

$1$.

$\frac{{\sqrt {41} }}{{41}}$.

$\frac{{\sqrt {205} }}{{41}}$.

Giải thích

Ta có \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)\] và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 4;3} \right)$.

Vì $\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên \[\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow 2m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2m + 2\].

Mặt khác: $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {4m - 4n + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} .\sqrt {41} }} = \frac{{\left| {4m + 5} \right|}}{{\sqrt {41} \sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}$

$ = \frac{1}{{\sqrt {41} }}.\sqrt {\frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}} $.

Vì $0^\circ \le \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) \le 90^\circ $ nên $\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất khi $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất.

Xét hàm số $f\left( m \right) = \frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}} \Rightarrow f'\left( m \right) = \frac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}$.

BBT

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng (P) :2x - y + 2z - 1 = 0 (ảnh 1)$

Dựa vào BBT ta có $\mathop {\max }\limits_{m \in \mathbb{R}} f\left( m \right) = 5$ tại $m = 0$.

Do đó $\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất khi $m = 0$. Suy ra $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt {205} }}{{41}}$.

Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng (P) :2x - y + 2z - 1 = 0