Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +3y +z -11 = 0 , mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm H(a;b;c). Tính T = a+b+c

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Xác định giao điểm của đường thẳng đó và mặt phẳng \((P)\)

Lời giải

\((S)\) có tâm \(I(1; - 2;1)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) tại điểm \((H) \Rightarrow H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \((P)\)

Đường thẳng đi qua \(I(1; - 2;1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) là \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 2 + 3t,(t \notin \mathbb{R})}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in d \Rightarrow H(1 + 2t;3t - 2;1 + t)\)

Mà \(H \in (P) \Rightarrow 2(1 + 2t) + 3(3t - 2) + (1 + t) - 11 = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow H(3;1;2)\)

Vậy \(T = a + b + c = 3 + 1 + 2 = 6\)