Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( alpha ) : 2x + 3y + z + 1 =0

19/22

Trong không gian \[{\rm{O}}xyz\], cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x + 3y + z + 1 = 0\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng song song với \[\left( \alpha \right)\], cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm \[A\], \[B\],\[C\] sao cho thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\]. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải thích

Do \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha \right)\] nên \[\left( P \right)\] có phương trình: \[2x + 3y + z + m = 0\], điều kiện \[m \ne 1\].

Khi đó: \[\left( P \right)\] cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm là: \[A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)\], \[B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)\], \[C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)\], với \[m < 0\].

Thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\] nên \[\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6\] (do \[m < 0\])

\[ \Leftrightarrow {m^3} = - \,216 \Leftrightarrow m = - \,6\] (thỏa mãn).

Ta có: \[\left( P \right):2x + 3y + z - 6 = 0\] \[ \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\,\left| {\,2.0 + 3.0 + 0 - 6\,} \right|\,}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }} \approx 1,60\].