Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

34/235

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z + 3 = 0\] và hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{x}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\];\[{d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\]. Xét các điểm \[A,\,B\] lần lượt di động trên \[{d_1}\] và \[{d_2}\] sao cho \[AB\] song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là:

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 9;8; - 5} \right)\).

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 5;9;8} \right)\).

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2; - 5} \right)\).

Một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;5; - 2} \right)\).

Giải thích

Ta có \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {3a;1 - a; - 1 + a} \right)\); \(B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {2 + b;1 - 2b; - 3 + b} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + b - 3a; - 2b + a;b - 2 - a} \right)\); \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Do \[AB\,{\rm{//}}\,\left( P \right)\] nên \[\overrightarrow {AB} \cdot {\vec n_{\left( P \right)}} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}b\].

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] là \(I\left( {\frac{{3a + 2 + b}}{2};\frac{{2 - 2b - a}}{2};\frac{{ - 4 + a + b}}{2}} \right)\)

hay \(I\left( {1 + \frac{3}{2}b;1 - \frac{8}{6}b; - 2 + \frac{5}{6}b} \right)\).

Suy ra tập hợp điểm I là một đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{3}{2}b\\y = 1 - \frac{8}{6}b\\z = - 2 + \frac{5}{6}b\end{array} \right.\).

Ta có \( - 6\left( {\frac{3}{2}; - \frac{8}{6};\frac{5}{6}} \right) = \left( { - 9;8; - 5} \right)\). Vậy tập hợp trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 9;8; - 5} \right)\). Chọn A.