Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu :(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=12 và mặt phẳng

19/40

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu :(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=12 và mặt phẳng (P):x−2y+2z+11=0. Xét điểm M di động trên (P) và các điểm A,B,C phân biệt di động trên S sao cho AM,BM,CM là các tiếp tuyến của S. Mặt phẳng ABC luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

14;−12;−12.

(0;−1;3).

32;0;2.

0;3;−1.

Giải thích

Mặt cầu S có tâm (1;1;1) và bán kính R=23.

Xét điểm M(a;b;c)∈(P);A(x;y;z)∈(S) nên ta có hệ điều kiện:

(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=12AI2+AM2=IM2a−2b+2c+11=0⇔(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=12 (1)12+(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2 (2)a−2b+2c+11=0 (3)

Lấy (1) − (2) ta có:

(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2−12+(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=12−(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2⇔(a−1)x+(b−1)y+(c−1)z−a−b−c−9=0

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:(Q):(a−1)x+(b−1)y+(c−1)z−a−b−c−9=0

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.