Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;2) và đi qua điểm A(1;-2;-1). 

Đáp án đúng là "36"

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) cho 3 số không âm \(a,b,c\) ta được \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\).

Lời giải

Đặt \(AB = a,AC = b,AD = c\) thì \(ABCD\) là tứ diện vuông đỉnh \(A\), nội tiếp mặt cầu (\(S\)). Khi đó \(ABCD\) là tứ diện đặt ở góc \(A\) của một hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh \(AB,AC,AD\) và đường chéo là đường kính của mặt cầu (S). Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{R^2} = 4I{A^2} = 4.27 = 108\)

Xét thể tích khối tứ diện \(ABCD:V = {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}abc \Leftrightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{a^2}{b^2}{c^2}\).

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^3} \ge {a^2}{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{108}}{3}} \right)^3} \ge 36{V^2} \Leftrightarrow V \le 36\)

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là 36.