Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S

87/235

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với \(\left( S \right)\); song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục \(Oz\) ở điểm có cao độ dương. Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(Ax + By + Cz + D = 0\), tính tổng \(A + B + C + D\).

-31

-83

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Từ các điều kiện Tiếp xúc với \(\left( S \right)\); song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục \(Oz\) ở điểm có cao độ dương để lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 4\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có phương trình dạng \(4x + 3y - 12z + c = 0\,\,\left( {c \ne 10} \right)\).

\(\left( \beta \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \beta \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 26 + c} \right|}}{{13}} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 26 + c = 52}\\{ - 26 + c = - 52}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 78}\\{c = - 26}\end{array}} \right.} \right.\)

Nếu \(c = 78\) thì \(\left( \beta \right):4x + 3y - 12z + 78 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) cắt trục \(Oz\) ở điểm\(M\left( {0;0;\frac{{13}}{2}} \right)\) có cao độ dương.

Nếu \(c = - 26\) thì \(\left( \beta \right):4x + 3y - 12z - 26 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) cắt trục \(Oz\) ở điểm\(M\left( {0;0; - \frac{{13}}{6}} \right)\) có cao độ âm.

Suy ra mặt phẳng \(\left( \beta \right):4x + 3y - 12z + 78 = 0\).

Vậy \(A + B + C + D = 4 + 3 + \left( { - 12} \right) + 78 = 73\).