Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Cho \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau) sao cho vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\). Khi đó \(\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)\) không đổi và \(MN = \frac{{{d_{\left[ {N,\left( P \right)} \right]}}}}{{{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)}}\) nên \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \({d_{\left[ {N,\left( P \right)} \right]}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) tâm I của (S)nằm giữa \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(\left( P \right)\).

Lời giải

Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\) nên (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

\({d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 2.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2 > R\) nên \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\alpha \) là góc giữa \(MN\) và \(NH\).

\(\overrightarrow {MN} \) và \(\vec u\) cùng phương, \(\overrightarrow {NH} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) cùng phương nên

\({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|.\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {1.1 - 2.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau) và \(MN = \frac{{{d_{\left[ {N,\left( P \right)} \right]}}}}{{{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)}}\) nên \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \({d_{\left[ {N,\left( P \right)} \right]}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) tâm I của (S)nằm giữa \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(\left( P \right)\).

Xét tam giác \(MNH\) vuông tại \(H\) có \(\alpha = \widehat {HNM}\) nên

\(HN = MN.{\rm{cos}}\alpha \Rightarrow MN = \frac{{HN}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{HN}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 HN\).

Ta có \(HN \le {d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} + R = 2 + 1 = 3\) nên \(MN \le 3\sqrt 2 \). Dấu đẳng thức xảy ra khi I nằm giữa \(H\) và \(N\).

Do đó, giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \), đạt được khi I nằm giữa \(H\) và \(N\).

Vậy giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \).