Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 − 4x − 2y + 10z − 14 = 0 và mặt phẳng (P): −x + 4z + 5 = 0 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C). Tọa độ tâm H của (C) là:

31/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 10z - 14 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 4z + 5 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\). Tọa độ tâm \(H\) của \(\left( C \right)\) là

\(H\left( { - 3;1; - 2} \right)\).

\(H\left( { - 7;1; - 3} \right)\).

\(H\left( {9;1;1} \right)\).

\(H\left( {1;1; - 1} \right)\).

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt {11} \).

Tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\left( {2;1; - 5} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;0;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1\\z = - 5 + 4t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1\\z = - 5 + 4t\\ - x + 4z + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1\\z = - 5 + 4t\\ - 2 + t - 20 + 16t + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = - 1\\t = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow H\left( {1;1; - 1} \right)\). Chọn D.