Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2z - 3 = 0 và điểm A(2;2;2). Biết rằng từ A có thể kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu (S), đồng thời các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳ

92/100

Trong không gian \[Oxyz,\]cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2z - 3 = 0\) và điểm \(A(2;2;2)\). Biết rằng từ \(A\) có thể kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \((S)\), đồng thời các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(ax + by + cz - 5 = 0\). Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm nào dưới đây?

\(M(1; - 2;0)\).

\(N(0;2; - 1)\).

\(P(2;2; - 1)\).

\(Q(1;1;1)\).

Giải thích

Giải chi tiết:

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(0;0;1)\), bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2} + 3} = 2\).

Nhận thấy: \((\alpha )\) là mặt phẳng vuông góc với\[\;AI.\]

Mặt phẳng \((\alpha )\) nhận \(\overrightarrow {IA} = (2;2;1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Kẻ một tiếp tuyến \[AB\] đến mặt cầu \((S)\) với \(B\) là tiếp điểm.

Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \[ABI.\]Khi đó \(H \in (\alpha )\).

Ta có: \(IA = 3\). Tam giác \[ABI\]vuông tại \(B\) nên \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

Ta có: \(I{B^2} = IH \cdot IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9} \cdot IA\).

Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = \frac{4}{9} \cdot 2}\\{y - 0 = \frac{4}{9} \cdot 2}\\{z - 1 = \frac{4}{9} \cdot 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{8}{9}}\\{y = \frac{8}{9}}\\{z = \frac{{13}}{9}}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{8}{9};\frac{8}{9};\frac{{13}}{9}} \right)\).

Do đó \((\alpha ):2 \cdot \left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2 \cdot \left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1 \cdot \left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\).

Vậy, \((\alpha )\) đi qua điểm \(Q(1;1;1)\).

Đáp án cần chọn là: D