Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\).

16/22

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 25$.

ĐúngSai

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $A\left( {1;2;8} \right)$ thì $\left( Q \right)$ có phương trình $z - 8 = 0$.

ĐúngSai

Mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 3 = 0$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $\sqrt {22} $.

ĐúngSai

Trên bề mặt của $\left( S \right)$ có 288 điểm nguyên (điểm có hoành độ, tung độ, cao độ đều là số nguyên).

ĐúngSai

Giải thích

a) SAI

Các hệ số $\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 4\\ - 2c = - 6\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = - 11\end{array} \right.$

$ \Rightarrow $ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 5$.

b) ĐÚNG

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $A\left( {1;2;8} \right)$

$ \Rightarrow $ $\left( Q \right)$ có vtpt $\overrightarrow n = \left( {0;0;5} \right)$ và qua $A\left( {1;2;8} \right)$

$ \Rightarrow $ $\left( Q \right):0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8$.

c) ĐÚNG

Do $d\left[ {I,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 < 5 = R$ nên $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $H$, bán kính $HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left[ {I,(P)} \right]} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {22} $

$Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\). (ảnh 1)$

d) SAI

Gọi $\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.$ thì ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 25$ (*) và $a,b,c \in \mathbb{Z}$.

Số bộ $\left( {a;b;c} \right)$ bằng với số bộ $\left( {x;y;z} \right)$.

Do ${a^2},\,{b^2},{c^2}$ vai trò như nhau nên có thể giả sử ${a^2} \le {b^2} \le {c^2}$.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}$.

Với ${a^2} = 4$,

$\left( * \right) \Rightarrow $ ${b^2} + {c^2} = 21$ à không có $b,c$ nguyên.

Với ${a^2} = 1$,

$\left( * \right) \Rightarrow $ ${b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow $ không tồn tại $b,c$ nguyên.

Với ${a^2} = 0$,

$\left( * \right) \Rightarrow $ ${b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2}$

Chọn vị trí cho số $0$trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $3$cách.

Chọn $3$ hoặc $ - 3$ và xếp vào một vị trí trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $2.2 = 4$cách.

Vị trí còn lại cho $4$ hoặc $ - 4$ trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $2$cách.

Vậy có $3.4.2 = 24$ bộ $\left( {a;b;c} \right)$.

Vậy có $24$ bộ $\left( {a;b;c} \right)$ hay $24$ điểm nguyên nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$.

Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu (có lời giải) - Đề 3

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\).