Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 29, hai điểm A(0;0;4), B(6;-2;6) và đường thẳng d: (x-4)/1 = (y+8)/(-1) = (z-4)/2. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho gó

15/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\], hai điểm \[A\left( {0;0;4} \right),B\left( {6; - 2;6} \right)\] và đường thẳng \[d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\]. Gọi \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\] sao cho \[\widehat {AMB} = 90^\circ \].

Điểm \[A\] nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\] và điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].

ĐúngSai

Đường thẳng \[d\] là tiếp tuyến của mặt cầu \[\left( S \right)\].

ĐúngSai

Điểm \[M\] nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z - 8 = 0\].

ĐúngSai

Gọi \[\left( {a;b;c} \right)\] là tọa độ điểm \[M\] khi khoảng cách từ điểm \[M\] đến đường thẳng \[d\] ngắn nhất. Giá trị của \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\] bằng \[10\].

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng: Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] và bán kính là \[R = \sqrt {29} \].

Ta có: \[\overrightarrow {IA} = \left( {0; - 2;5} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {29} = R\], do đó điểm \[A\] nằm trên mặt cầu \[\left( S \right)\].

\[\overrightarrow {IB} = \left( {6; - 4;7} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {101} > R\], do đó điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].

b) Sai: Gọi \[H\left( {4 + t; - 8 - t;4 + 2t} \right)\] là hình chiếu vuông góc của \[I\left( {0;2; - 1} \right)\] lên đường thẳng \[d\].

Ta có: \[\overrightarrow {IH} = \left( {t + 4; - t - 10;2t + 5} \right)\]; \[\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\] là vectơ chỉ phương của \[d\].

\[\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Rightarrow 1.\left( {t + 4} \right) - 1.\left( { - t - 10} \right) + 2\left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 4\].

\[ \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {0; - 6; - 3} \right) \Rightarrow IH = 3\sqrt 5 > R\]

Do đó, \[d\] không phải là tiếp tuyến của mặt cầu \[\left( S \right)\].

c) Đúng: Do \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] nên điểm \[M\] nằm trên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] đường kính \[AB\].

Phương trình của \[\left( {S'} \right)\] là \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 11\].

Mặt khác, \[M\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\], do đó tọa độ điểm \[M\] thỏa mãn hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} = 29\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} = 11}\end{array}} \right. \Rightarrow x - y + 2z - 8 = 0\].

Vậy \[M\] nằm trên đường tròn \[\left( C \right)\] là giao tuyến của \[\left( S \right)\] và \[\left( {S'} \right)\], đường tròn \[\left( C \right)\] nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z - 8 = 0\].

d) Sai: Gọi \[H\] là tâm của đường tròn giao tuyến của đường tròn \[\left( C \right)\], khi đó \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[I\] lên \[\left( P \right)\].

$Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M (ảnh 1)$

Ta có: \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 2\sqrt 6 \]

\[IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 2 - t\,\,\,\,\,}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {t;2 - t; - 1 + 2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {t; - t;2t} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {6{t^2}} \].

Do \[IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) \Rightarrow 6{t^2} = 24 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{H\left( {2;0;3} \right)}\\{H\left( { - 2;4; - 5} \right)}\end{array}} \right.\].

Do \[H \in \left( P \right)\] nên \[H\left( {2;0;3} \right)\].

Gọi \[N\] là giao điểm của \[d\] và \[\left( P \right)\]\[ \Rightarrow N\left( {2; - 6;0} \right) \Rightarrow NH = 3\sqrt 5 \].

Mặt khác \[MH = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {29 - 24} = \sqrt 5 \].

\[ \Rightarrow NH = 3MH \Rightarrow 2\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M\left( {2; - 2;2} \right)\].

Vậy \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\].