Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + (y - 2)^2 + (z +3)^2 = 24

50/50

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y−22+z+32=24 cắt mặt phẳng α:x+y=0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm hoành độ điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến A(6; -10; 3) lớn nhất.

-1

-4

-5

Giải thích

Phương pháp:

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

- Gọi H là tâm đường tròn (C), tìm tọa độ điểm H. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên α, tìm tọa độ điểm K.

- Sử dụng định lí Pytago: AM2=AK2+KM2, chứng minh AMmax⇔KMmax.

- Sử dụng BĐT tam giác: KM≤KH+HM, tìm M để KM=KH+HM.

Cách giải:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + (y - 2)^2 + (z +3)^2 = 24 (ảnh 1)

Mặt cầu S:x2+y−22+z+32=24 có tâm I(0; 2; -3), bán kính R=26.

Gọi H là tâm đường tròn C⇒IH⊥α.

⇒ Phương trình đường thẳng IH:x=ty=2+tz=−3.

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình x=ty=2+tz=−3x+y=0⇔x=ty=2+tz=−3t+2+t=0⇔x=−1y=1z=−3⇒H−1;1;−3.

Ta có IH=dI;α=0+22=2⇒ Bán kính đường tròn (C) là r=R2−IH2=24−2=22.

Dễ thấy điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên α, tương tự như tìm tọa độ điểm H ta tìm được K(8; -8; 3).

Khi đó ta có KH=8+12+−8−12+3+32=322>r.

Áp dụng định lí Pytago ta có: AM2=AK2+KM2, do AK không đổi nên AMmax⇔KMmax.

Ta cps KM≤KH+HM (BĐT tam giác), do đó KMmax⇔HM=KH+HM=322+22=422, khi đó MK→=4MH→

⇒8−xM=4−1−xM−8−yM=41−yM3−zM=43−zM⇔xM=−4yM=4zM=3.

Vậy xM=−4.

Chọn B.