Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 2)^2 + (y + căn bậc hai của 5)^2 + z^2 = m^2 + 2m + 6. Tập các giá trị của m để mặt cầu (S) cắt trục Oz tại hai điểm phân biệt là: ...

78/100

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ + }}\sqrt 5 } \right)^2} + {z^2} = {m^2} + 2m + 6\). Tập các giá trị của \(m\) để mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại hai điểm phân biệt là

\(m = 1\).

\(m = - 3\).

\( - 3 < m < 1\).

\(m < - 3\) hoặc \(m > 1\).

Giải thích

Phương pháp giải:

Xác định điều kiện để mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng phải nhỏ hơn bán kính.

Giải chi tiết:

Tâm \(I\left( {2; - \sqrt 5 ;0} \right),\) bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 2m + 6} \) (phương trình trên là phương trình mặt cầu do \({m^2} + 2m + 6 > 0\forall m \in \mathbb{R}\))

Hình chiếu của \(I\) lên trục \(Oz\) là \(O\left( {0;0;0} \right)\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến trục \(Oz\) là \(d(I;Oz) = IH = \sqrt {{2^2} + {{( - \sqrt 5 )}^2}} = 3\)

Để mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì

\[d(I;Oz) < R \Leftrightarrow 3 < \sqrt {{m^2} + 2m + 6} \Leftrightarrow 9 < {m^2} + 2m + 6\]

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < - 3}\end{array}} \right.\)