Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 3)^2 = 9 và hai điểm A(1; 1; 3), B(21; 9; -13). Giả sử điểm M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S) sao cho 3MA^2 + MB^2 đạt giá trị

19/22

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ và hai điểm $A\left( {1\,;1\,;3} \right)$, $B\left( {21\,;9\,; - 13} \right)$. Giả sử điểm $M\left( {a\,;b\,;c} \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $3M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $T = a \cdot b \cdot c$ bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 8

$P = 3M{A^2} + M{B^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MB} } \right)^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}$

$ = 4M{I^2} + \left( {3I{A^2} + I{B^2}} \right) + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)$

Tìm điểm $I$ sao cho $3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Rightarrow I\left( {6;3; - 1} \right)$

Khi đó $P = 4M{I^2} + (3I{A^2} + I{B^2})$

$ \Rightarrow P$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất

Ta có: $\left( S \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{t\^a m }}H\left( {2;1;3} \right)}\\{{\rm{b\'a n k\'i nh }}R = 3}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow IH = 6 > R \Rightarrow I$ nằm ngoài mặt cầu (hình vẽ)

$Suy ra $I{M_{\min }} = IH - R = 3$ khi $M = {M_0}$ (hình vẽ) (ảnh 1)$

Suy ra $I{M_{\min }} = IH - R = 3$ khi $M = {M_0}$ (hình vẽ)

Nhận thấy ${M_0}$ là trung điểm $IH$ suy ra ${M_0}\left( {4\,;2\,;1} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 2}\\{c = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow T = abc = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$.