Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S) : (x-2 ) ^ 2_+ (y -1 )^2

22/22

Trong không gian \[{\rm{O}}xyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi biểu thức \(P = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \({x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Ta có \(P = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} \Leftrightarrow {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} - P = 0\) suy ra điểm \(M \in \left( \alpha \right):x + 2y + 2z - P = 0\).

Để tồn tại điểm \(M\)là điểm chung của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - P} \right|}}{3} \le 3 \Leftrightarrow \left| {6 - P} \right| \le 9 \Leftrightarrow - 9 \le 6 - P \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le P \le 15\].

Vậy GTNN của biểu thức \(P\) là \( - 3\). Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \[d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\] tức là \(M\) là tiếp điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình đường thẳng \(IM:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\\x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 1\\y = - 1\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 1} \right)\).

Vậy \({x_0} + {y_0} + {z_0} = - 1.\)