Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (X-1)^2+(Y-2)^2+(Z-2)^2=9

Mặt cầu (S) có tâm I1;2;2 và bán kính R=3.

Gọi K là trung điểm của MN⇒K5;−2;4 và K nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó IK→=4;−4;2, MN→=2;4;4, MN=6 và IK⊥MN.

Ta cóEM+EN≤2EM2+EN2=2EK2+MN22=2EK2+36 .

Bởi vậy  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM=EN và EK lớn nhất.

Vì IK⊥MN nên EM=EN thì E thuộc đường thẳng IK:x=1+2ty=2−2tz=2+t .

Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu (S) ứng với t là nghiệm phương trình:1+2t−12+2−2t−22+2+t−22=9⇔t=±1

.

Như vậyE13;0;3  hoặc E2−1;4;1.

Ta có E1K=3, E2K=9. Suy ra E=−1;4;1⇒IE→=−2;2;−1 , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E có phương trình: −2x+1+2y−4−1z−1=0  hay 2x−2y+z+9=0.