Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S: (x-1)^ 2+(y+2)^2+ (z+3)^2 =25 và điểm A(0;1;-5)

44/234

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S: (x-1)2 + (y+2)2 + (z+3)2 = 25 và điểm A(0;1;-5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A, cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là ax +by +cz +d =0 a,b,c,d ∈Z Tính giá trị biểu thức T = a+b+c+d. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Tìm giao tuyến và viết phương trình mặt phẳng.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Suy ra \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - H{I^2}} \).

Khi đó \({r_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow H{I_{{\rm{max}}}}\), mà \(HI \le AI\) suy ra \(H{I_{{\rm{max}}}} = AI \Leftrightarrow HA\)

\(\overrightarrow {AI} = \left( {1; - 3;2} \right)\) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Do đó phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x - 3y + 2z + 6 = 0\)

Vậy \(a = 1,b = - 3,c = 2,d = 6.\)

\(T = 1 - 3 + 2 + 6 = 6\)