Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1 )^2 + ( y − 2 )^2 + ( z − 3 )^2 = 9 và điểm A ( 0 ; 0 ; 2 ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và cắt khối cầu ( S ) theo th

28/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và cắt khối cầu \(\left( S \right)\) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất là:

\(\left( P \right):x - 2y + 3z - 6 = 0\).

\(\left( P \right):x + 2y + 3z - 6 = 0\).

\(\left( P \right):3x + 2y + 2z - 4 = 0\).

\(\left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0\).

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\), vì \(IA = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 6 < R\).

Do đó, để mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và cắt khối cầu \(\left( S \right)\) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) phải lớn nhất

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {AI} \).

Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {1;2;1} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {0;0;2} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 2 = 0\). Chọn D.