Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1 )^2 + ( y − 2 )^2 + ( z − 1 )^2 = 9 và điểm A ( 1 ; − 2 ; 5 )

15/22

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$ và điểm $A\,\left( {1\,;\, - 2\,;\,5} \right)$

[NB] Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\,\left( { - 1\,;\,2\,;\, - 1} \right)$ và bán kính $R = 3$.

ĐúngSai

[TH] Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

ĐúngSai

[TH] Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $T\,\left( { - 2\,;\,0\,;\,3} \right)$ là $x + 2y - 2z + 8 = 0$.

ĐúngSai

[VD] Xét các điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho đường thẳng $AM$ tiếp xúc với $\left( S \right)$, điểm $M$ luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là $2x - 4y + 4z + 3 = 0$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$, nên có tâm $I\,\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 9 = 3$. Suy ra (a) Sai.

b) Tính $IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14} \approx 7,48 \Rightarrow IA > R$. Suy ra điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu. Suy ra (b) đúng.

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $T\,\left( { - 2\,;\,0\,;\,3} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {IT} = \left( { - 1\,;\, - 2\,;\,2} \right)$ có phương trình là: $ - 1.\left( {x + 2} \right) - 2.\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - x - 2y + 2z - 8 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 8 = 0$

Suy ra (c) đúng.

d) Khi $AM$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$, thì $AM \bot IM$.Khi đó các tiếp điểm $M$ sẽ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng cực của điểm $A$.

$a) Tại thời điểm bắt đầu, tức là $t = 0$, ta có: \(N (ảnh 1)$

Phương trình mặt phẳng đi qua các tiếp điểm $M$ từ điểm $A\,\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,{z_0}} \right)$ đến mặt cầu ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có dạng là:

$\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - b} \right) + \left( {{z_0} - c} \right)\left( {z - z} \right) = {R^2}$

Thay tọa độ điểm $A\,\left( {1\,;\, - 2\,;\,5} \right)$ và điểm $I\,\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ vào, ta có:

$\left( {1 + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { - 2 - 2} \right)\left( {y - 2} \right) + \left( {5 - 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 9 \Leftrightarrow 2x - 4y + 4z - 3 = 0$

Suy ra (d) Sai.