Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1 )^2 + ( y − 1 ) ^2 + ( z + 1 ) ^2 = 4 . Có tất cả bao nhiêu điểm M ( a ; b ; c ) ( a , b , c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy )

38/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) (\(a,b,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (\(Oxy\)) sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(M\) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\) và điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

Ta có tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow R \le MI \le R\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 4 \le {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {1^2} \le 8 \Leftrightarrow 3 \le {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \le 7\)

mà \(a,b \in \mathbb{Z}\) suy ra \({\left( {b - 1} \right)^2} \le 7 \Leftrightarrow - \sqrt 7 \le b - 1 \le \sqrt 7 \Rightarrow b \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Suy ra có 8 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn. Vậy có 8 điểm \(M\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần nhập là: \(8\).