Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

Khoảng cách từ điểm cố định \(O\) đến đường thẳng \(d\) qua điểm \(A\) cố định đạt giá trị lớn nhất là \(OA\), khi và chỉ khi \(d \bot OA\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\) có tâm \(I\left( {1;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Dễ thấy \(A\left( {2; - 1;2} \right) \in \left( S \right)\). Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua A, tiếp xúc với \(\left( S \right)\) thì \(d\) tiếp xúc với (S) tại \(A\), suy ra \(d \bot IA\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d\). Khi đó ta có \(OH = {d_{\left( {O,d} \right)}} \le OA = 3\).

Do đó, khoảng cách từ \(O\) đến \(d\) lớn nhất là 3, đạt được khi \(H \equiv A \Leftrightarrow d \bot OA\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1; - 2;2} \right);\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 1;2} \right)\)

\(d \bot OA\) và \(d \bot IA\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {IA} } \right] = \left( {2; - 2; - 3} \right)\).

Mà \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y - m}}{a} = \frac{{z + n}}{b}\) nên \(a = 4;b = 6\).

Lại có \(d\) qua \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) nên

\(\frac{{2 - 3}}{{ - 4}} = \frac{{ - 1 - m}}{a} = \frac{{2 + n}}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{{ - 1 - m}}{4} = \frac{{2 + n}}{6} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 2}\\{n = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(T = a + b + m + n = 4 + 6 + \left( { - 2} \right) + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{2}\).