Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện để mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( T \right)\) không giao nhau, đó là \({d_{\left[ {J,\left( P \right)} \right]}} > {R_{\left( T \right)}}\), trong đó \(J,{R_{\left( T \right)}}\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\).

Lời giải

Ta có

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 7\)

Điều kiện để \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z + m - 1 = 0\) là phương trình mặt cầu là \(7 - m > 0 \Leftrightarrow m < 7\).

Khi đó mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1; - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {7 - m} \).

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\).

Ta có

\(\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} = 18 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KH} + \overrightarrow {HA} } \right)\left( {\overrightarrow {KH} - \overrightarrow {HA} } \right) = 18 \Leftrightarrow K{H^2} - H{A^2} = 18 \Leftrightarrow K{H^2} - \left( {{R^2} - H{I^2}} \right) = 18\)

\( \Leftrightarrow K{H^2} + H{I^2} - \left( {7 - m} \right) = 18 \Leftrightarrow K{I^2} = 25 - m\).

Do đó \(K\) thuộc mặt cầu \(\left( T \right)\) tâm \(I\left( { - 1; - 1;2} \right)\), bán kính \(\sqrt {25 - m} \).

Để không tồn tại điểm \(K\) nào thuộc \(\left( P \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(\left( T \right)\) và \(\left( P \right)\) không giao nhau.

Khi đó

\({d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} > KI \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 + 2.\left( { - 1} \right) + 2 + m + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} > \sqrt {25 - m} \Leftrightarrow \frac{{{{(m + 11)}^2}}}{6} > 25 - m\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 28m - 29 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \vee m < - 29\)

Mà \(m\) là số tự nhiên, kết hợp với \(m < 7\) nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}\). Vậy có 5 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.