Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 4; 2), b

Đáp án đúng là: C

Gọi M(a; 0; 0) Î Ox, N(0, b, 0) Î Oy.

Ta có d(I; (Oxy)) = 2 = R nên (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(1; 4; 0) và MN cũng đi qua A.

Lại có AM→= (a – 1; −4; 0), AN→= (−1; b – 4; 0) và 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên ta được:

a−1−1=−4b−4Û (a – 1)(b – 4) = 4      (1).

Tứ diện OIMN có IA ^ (OMN) và ∆OMN vuông tại O

Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN thì J Î (IMN).

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN.

Ta có S_∆IMN = IM.IN.MN4r(với r = 72 bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IMN).

Û 12IA.MN= IM.IN.MN4.72

Û IM.IN = 7IA

Û IM.IN = 14

Û [(a – 1)² + 20].[(b – 4)² + 5] = 196                  (2).

Đặt m=a−1n=b−4.

Từ (1) và (2) ta có hệ mn=4                                      m2+20n2+5=196 

Û n=4m                                                (3)m2+2016m2+5=196 (4)

Từ (4) ta được: (m² + 20)(16 + 5m²) = 196m²

Û 5m⁴ – 80m² + 320 = 0 Û m² = 8

Û m=22m=−22Þ n=2n=−2.

Suy ra a=1+22,b=4+2a=1−22,b=4−2.

Vậy AM.AN = 62.